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                  薛定諤方程的定義

                  薛定諤方程的定義


                          薛定諤方程,有時也稱為薛定諤波動方程,是一個偏微分方程。它使用能量守恒的概念(動能 + 勢能 = 總能量)來獲取有關綁定到原子核的電子行為的信息。它通過允許一個做到這一點電子的波函數,Ψ,來計算的。

                  求解薛定諤方程可以得到ΨΨ 2。有了這些,我們可以獲得量子數以及表征原子或分子中電子的軌道的形狀和方向。

                  薛定諤方程只對具有一個電子的原子核給出精確解:H, He + , Li 2+ , Be 3+ , B 4+ , C 5+等。在數學語言中,我們說Ψ 的解析解是唯一可能的對于單電子系統。單電子系統通常被描述為氫的——意思是“像氫”。

                  對于所有其他原子、離子和分子,不可能有Ψ 的解析解;然后使用近似計算方法,例如軌道近似變分定理。

                  有一個與時間相關的薛定諤方程和一個與時間無關的薛定諤方程。

                  時間無關方程認為電子的量子態是不變的,因此將電子視為駐波。與時間無關的方程允許使用波函數的平方Ψ 2找到電子密度(即原子和分子軌道的大小和形狀。

                  下面的 p 軌道是Ψ 2 的例子

                  X
                  2py
                  ÿ
                  2px
                  ž
                  2pz

                  與時間無關的薛定諤方程

                  與時間無關的薛定諤方程可以用高度壓縮的數學速記表示為:

                  薛定諤方程時間指示

                  該方程適用于以非相對論速度運動的電子。(這意味著它需要在應用高質量元素之前進行調整。)等式表示:

                  波函數的動能和勢能之和 = 波函數的總能量

                  與時間無關的方程可以寫在任何合適的坐標系中,例如笛卡爾坐標 (x,y,z)。對于氫原子,球形極坐標更合適,因此:

                  薛定諤方程時間因拉普拉斯算子

                   是約化的普朗克常數,
                  m是電子質量,
                   是拉普拉斯算子,
                  Ψ是波函數,
                  V是勢能,
                  E是能量特征值,
                  (r)表示量是球極坐標 (r, θ, φ) 的函數

                  約束導致量化

                  求解方程以找到Ψ。求解方程的約束會產生量化——即為Ψ找到的解被限制為某些值,而所有其他值都被禁止。

                  這些限制是:

                  • Ψ及其一階偏導數必須是連續的。

                  • Ψ必須是可歸一化的:這意味著電子存在于宇宙某處的概率為 100%。對于實值Ψ,歸一化要求:

                  隨著與原子核距離的增加,電子分離并不再受束縛。即如 r → ∞, H → H + + e -。

                  波函數產生量子數

                  電子的波函數存在于三個維度中,因此薛定諤方程的解分為三個部分。這些是通過求解稱為分離變量的偏微分方程的方法明確獲得的。這樣做,我們得到:

                  Ψ (r, θ, φ) = R(r)  P(θ)  F(φ)

                  事實證明,Ψ 的只有在以下情況下才有可能:

                  在 R(r) 中,一個常數,稱為 n,具有值 1、2、3、4……

                  在 P(θ) 中,一個常數,稱為l,具有值 0, 1, 2, 3,...(n-1)

                  在 F(φ) 中,一個常數,稱為l,具有值 - l , ( l +1),...0..., ( l +1), l

                  因此,根據波函數Ψ,薛定諤方程提供了表征原子中電子行為的三個量子數。

                   n:主要量子數

                  • l:軌道角動量量子數

                  :磁量子數

                  波函數產生軌道形狀和大小

                  Ψ 2,概率密度,定義了電子軌道的形狀和大小。



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